เนื้อหาสมมูล และ นิเสธ ตรรกศาสตร์ ม.4 เทอม 1

ในบทความนี้จะพูดถึง “สมมูลและนิเสธ” สองเรื่องสำคัญของตรรกศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 โดยเน้นไปที่ สมบัติของสมมุล นิเสธ และรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 

สิ่งที่ทุกคนจะได้จากการอ่านบทความนี้ คือ เข้าความหมายและสมบัติเรื่องสมมูล และนิเสธ รวมถึงวิธีการหาและรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรรู้ในเบื้องต้น 

อย่าลืม!!! ฝึกทำโจทย์และทบทวนบ่อยๆ ก็จะยิ่งเพิ่มความเข้า่ใจและชำนาญมากขึ้น รวมถึงสามารถทำโจทย์หรือข้อสอบทุกรูปแบบได้ง่ายและเร็วขึ้น

สมมูลคืออะไร

ประพจน์ที่สมมูลกัน คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริง “เหมือนกัน” ทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย ≡

คุณสมบัติของสมมูล

(กำหนดให้ X, Y และ Z เป็นประพจน์ใดๆ)

มี 3 ข้อ คือ 

1. การสะท้อน  : X ≡ X

2. การสมมาตร : ถ้า X ≡ Y แล้ว Y ≡ X 

3. การถ่ายทอด : ถ้า X ≡ Y และ Y ≡ Z แล้ว X ≡ Z   

นิเสธ คืออะไร

สิ่งที่ตรงข้ามกับ สมมูล

นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริง “ตรงข้ามกัน” ทุกกรณี

โดยประพจน์ X เป็นนิเสธกับ ประพจน์ Y 

ก็ต่อเมื่อ ค่าความจริงของ X และ Y “แตกต่างกัน” ทุกกรณี

หรือ ค่าความจริงของ X และ ~Y “เหมือนกัน” ทุกกรณี

หรือ X ≡ ~Y

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันคืออะไร

คือ รูปแบบของประพจน์ (ประพจน์หลายๆ ประพจน์ที่เชื่อมโยงกัน ด้วยตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์) ตั้งแต่ 2 รูปแบบขึ้นไปที่มีค่าความจริง “เหมือนกัน” ทุกกรณี

วิธีการตรวจสอบการสมมูลกันของรูปแบบประพจน์

1. สร้างตารางค่าความจริง เพื่อดูว่าค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดของรูปแบบประพจน์เหล่านั้น เหมือนกันทุกกรณีหรือไม่?

ถ้าค่าความจริงที่เป็นไปได้เหมือนกันทุกกรณี แสดงว่า รูปแบบทั้งสองประพจน์นั้น "สมมูล" กัน

ถ้ามีค่าความจริงที่เป็นไปได้แตกต่างกัน แม้แต่กรณีเดียว แสดงว่า รูปแบบทั้งสองประพจน์นั้น "ไม่สมมูล" กัน

2. ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน เป็นการแปลงรูปแบบของประพจน์ให้เหมือนกับอีกประพจน์หนึ่ง ซึ่งผ่านการพิสูจน์ค่าความจริงที่เป็นไปได้ทุกกรณีมาแล้ว ว่า ทั้งสองประพจน์นี้ “สมมูลกัน”

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ได้แก่

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

• p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r
  
• 
  
• p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r
  
• 
  
• p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r

สมบัติการแจกแจงนิเสธ

• ~(~p) ≡ p
• ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
• ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
• ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
• ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q

สมบัติการสลับที่

• p ∧ q ≡ q ∧ p
• p ∨ q ≡ q ∨ p
• p ↔ q ≡ q ↔ p

สมบัติการแจกแจง

• p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
• p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r)
• p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r )
• p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r )
• ( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r )
• ( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r )

สมบัติถ้า..แล้ว..” ( → )

• p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q

สมบัติก็ต่อเมื่อ ( ↔ )

• p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p)

สมบัติอื่นๆ

• p ∧ p ≡ p
• p ∧ T ≡ p
• p ∧ F ≡ F
• p ∧ ~p ≡ F
• p ∨ p ≡ p
• p ∨ T ≡ T
• p ∨ F ≡ p
• p ∨ ~p ≡ T
• p → F ≡ ~p
• F → p ≡ T
• p → T ≡ T
• T → P ≡ P
• P ↔ P ≡ T
• P ↔ ∼P ≡ F

อยากเรียนรู้เรื่อง สมมูลมากขึ้น

ไม่เข้าใจเรื่องสมมูลและตรรกศาสตร์?

ยังมีคำถามเพิ่มเติมกับเรื่องนี้อยู่?

ต้องการเทคนิคดี เพื่อช่วยทำโจทย์สมมูล ให้เร็วขึ้น

สามารถมาปรึกษา หรือเรียนกับติวเตอร์บน fellowie ได้ที่ 👉ติวเตอร์คณิตศาสตร์

fellowie แอปเรียนออนไลน์ตัวต่อตัวกับติวเตอร์ที่เหมาะกับคุณ

❌ไม่ผูกมัด

❌ไม่ผ่านนายหน้า

❌รู้จักติวเตอร์ตั้งแต่ก่อนเรียน

❌ปลอดภัย ไม่โดนโกง 100%

✅ จ่ายเงินเป็นรายครั้ง

✅ เลือกเวลาเรียนได้เอง