คณิตศาสตร์

บทความนี้จะพูดถึง ค่าสัมบูรณ์ หนึ่งในบทระบบจำนวนจริงของคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 หรือคณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 1 ที่ใครหลายๆคนบอกว่ายาก แต่ออกข้อสอบเยอะมากทั้ง ข้อสอบในโรงเรียน และข้อสอบ A-Levelค่าสัมบูรณ์ หนึ่งในเรื่องที่ใครหลายๆคนมักข้ามเวลาทำโจทย์ เพราะยาก สับสน และมักทำผิด ส่วนหนึ่งมาจากการไม่เข้าใจที่มา, สมบัติ, นิยามของค่าสัมบูรณ์ หรือหลงลืมสมบัติบางข้อของค่าสัมบูรณ์ไปสิ่งที่จะได้จากการอ่านบทความนี้คือ รู้ว่าค่าสัมบูรณ์คืออะไร มีลักษณะ และนิยามที่สำคัญอย่างไรบ้าง พร้อมกับสมบัติหรือสูตรของค่าสัมบูรณ์ที่น้องๆ ม.4 ต้องควรรู้ไว้ และเพื่อให้เข้าใจได้ง่ายยิ่งขึ้น พวกเรา fellowie ยังได้ยกตัวอย่างประกอบ เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้นด้วยอย่าลืม!! ฝึกทำโจทย์และทบทวนบ่อยๆ จะช่วยเพิ่มความเข้าใจ ความชำนาญ และสามารถทำโจทย์หรือข้อสอบทุกรูปแบบได้ง่ายขึ้นด้วยถ้าพร้อมแล้วไปเริ่มกันเลย ~Let’s GO~ค่าสัมบูรณ์คืออะไรค่าสัมบูรณ์(Absolute) คือระยะห่างจาก 0 ไปยังตำแหน่งที่เราต้องการ โดยมีสัญลักษณ์ คือ |a|ตัวอย่างเช่นค่าสัมบูรณ์ของ 5 (|5|) คือ ดังนั้น |5| = 5ค่าสัมบูรณ์ของ -2 (|-2|) คือดังนั้น |-2| = 2**ข้อสังเกต**จะเห็นได้ว่า ระยะห่างจะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นค่าสัมบูรณ์จะมีค่าเป็นบวกหรือศูนย์เท่านั้น ไม่สามารถเป็นค่าลบได้นิยามของค่าสัมบูรณ์คืออะไร = a; a ≥ 0ค่าสัมบูรณ์ของ a (|a|) = 0; a = 0   = -a; a < 0 ตัวอย่างเช่น a = 4จะได้ว่า a ≥ 0ดังนั้น |a| = 4a = -2จะได้ว่า a < 2ดังนั้น |a| = -(-2) = 2  สมบัติของค่าสัมบูรณ์ที่ควรรู้***กำหนดให้ w, x, y, z ∈ R***1. |a| ≥ 02. |-a| = |a|3. |a-b| = |b-a|4. |ab| = |a| · |b|5. |ab\frac{a}{b}ba​| =∣a∣∣b∣\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}∣b∣∣a∣​ ; b ≠ 06. |a|² = a²7. |a+b| ≤ |a|+|b|8. |a| = a2\sqrt{a^2}a2​9. |a-b| = 0; a = b10. กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวกจะได้ว่า |a| ≤ b; -b ≤ a ≤ b |a| ≥ b; a ≤ -b หรือ a ≥ bคุณกำลังเกิดคำถามกับเรื่องนี้อยู่หรือเปล่า?❓ถ้ามีข้อสงสัยในวิชาคณิตศาสตร์❓เรียนที่โรงเรียนแล้วยังไม่เข้าใจ❓หาที่เรียนเสริมแล้วยังไม่พอใจ ไม่ถูกใจ🥇อยากได้โจทย์ฝึกฝน และมีคนช่วยแบบส่วนตัว💙สามารถมาปรึกษา หรือเรียนเสริมกับติวเตอร์บน fellowie ได้ที่ 👉ติวเตอร์คณิตศาสตร์ 📌แอป fellowie คืออะไร?fellowie แอปเรียนออนไลน์ตัวต่อตัวกับติวเตอร์ที่เหมาะกับคุณ👨‍👨‍👧‍👦แหล่งรวมติวเตอร์มากมาย หลากหลายสไตล์❌ ไม่ผูกมัด จ่ายเงินเป็นรายครั้ง❌ ไม่ผ่านนายหน้า✅ ปลอดภัย ไม่โดนโกง 100%✅ ติวเตอร์ทุกคนผ่านการยืนยันตัวตน👩‍🏫 รู้จักโปรไฟล์ & สไตล์การสอน ของติวเตอร์ตั้งแต่ก่อนเรียน🕐 เลือกเวลาเรียนได้เอง⚖️ ราคายุติธรรม เป็นกลาง

ในบทความนี้จะพูดถึง สมบัติของจำนวนจริง ซึ่งเป็นสิ่งเรื่องที่ทุกคนควรต้องรู้ไว้ โดยจะเน้นไปที่ สมบัติที่สำคัญๆของจำนวนจริง พร้อมกับยกตัวอย่างลักษณะของสมบัตินั้นๆสมบัติของจำนวนจริงเป็นหนึ่งในเรื่องระบบจำนวนจริงของคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 ที่รุ่นพี่หลายๆคน มักชอบละเลยและมองข้ามเรื่องนี้ไป แต่ในความเป็นจริงแล้ว เรื่องนี้สำคัญมาก เพราะสามารถช่วยเปลี่ยนลักษณะโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยาก ให้เป็นรูปแบบที่คิดหรือกแก้โจทย์ปัญหาได้ง่ายขึ้นได้สิ่งที่ทุกคนจะได้จากการอ่านบทความนี้คือ รู้ว่าสมบัติของจำนวนจริงที่สำคัญๆและควรรู้ ซึ่งพวกเรา fellowie ได้คัดสรรมาให้แล้ว เพราะสมบัติของจำนวนจริงมีเยอะมาก การยกมาทั้งหมดอาจจะเกินความจำเป็นที่ทุกคนควรทราบ และพวกเรายังได้ตัวอย่างของสมบัตินั้นๆ เพื่อให้ทุกคนเห็นภาพ และเข้าใช้สมบัตินั้นๆมากขึ้นอย่าลืม!! ฝึกทำโจทย์และทบทวนบ่อยๆ จะช่วยเพิ่มความเข้าใจ ความชำนาญ และสามารถทำโจทย์หรือข้อสอบทุกรูปแบบได้ง่ายขึ้นด้วยถ้าพร้อมแล้วไปเริ่มกันเลย ~Let’s GO~***ก่อนจะเริ่ม!!! พวกเราขอกำหนดเงื่อนไขให้ w,x,y,z ∈ R***สมบัติการเท่ากันสมบัติการสะท้อน คือx = xสมบัติการสมมาตร คือถ้า x = y แล้ว y = xสมบัติการถ่ายทอด คือถ้า x = y และ y = z แล้ว x = zสมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือถ้า x = yแล้ว x(+z) = y(+z)สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือถ้า x = yแล้ว x(∙z) = y(∙z) สมบัติการบวกสมบัติปิด คือถ้า x และ y ∈ Rแล้ว x+y ∈ Rสมบัติการสลับที่ คือx+y = y+xสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม คือ(x+y)+z = x+(y+z)สมบัติเอกลัษณ์การบวก คือ 00+x = x+0 = xสมบัติอินเวอร์สการบวก คือ อินเวอร์สการบวกของ x คือ -xและอินเวอร์สการบวกของ -x คือ xจะได้ว่า x+(-x) = -x+(x) = 0สมบัติการคูณสมบัติปิด คือถ้า x และ y ∈ Rแล้ว x∙y ∈ Rสมบัติการสลับที่ คือ x∙y = y∙xสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม คือ(x∙y)∙z = x∙(y∙z)สมบัติเอกลัษณ์การคูณ คือ 11∙x = x∙1 = xสมบัติอินเวอร์สการคูณ คือ อินเวอร์สการคูณของ x คือ 1x\frac{1}{x}x1​และอินเวอร์สการคูณของ 1x\frac{1}{x}x1​ คือ xจะได้ว่า x∙(1x\frac{1}{x}x1​) = 1x\frac{1}{x}x1​∙(x) = 1สมบัติการแจกแจงx∙(y+z) = x∙y+x∙z(x+y)∙z = x∙z+y∙zสมบัติการไม่เท่ากันสมบัติการถ่ายทอด คือถ้า x > y และ y > zแล้ว x > zสมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือถ้า x > yแล้ว x(+z) > y(+z)สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์ คือเมื่อ x > 0;ถ้า y > zแล้ว yx > zxถ้า y < zแล้ว yx < zxเมื่อ x < 0;ถ้า y > zแล้ว yx < zxถ้า y < zแล้ว yx > zxสมบัติอื่นๆถ้า xy = 0แล้ว x หรือ y = 0ถ้า x < y และ z < wแล้ว x-w < y-zคุณกำลังเกิดคำถามกับเรื่องนี้อยู่หรือเปล่า?❓ถ้ามีข้อสงสัยในวิชาคณิตศาสตร์❓เรียนที่โรงเรียนแล้วยังไม่เข้าใจ❓หาที่เรียนเสริมแล้วยังไม่พอใจ ไม่ถูกใจ🥇อยากได้โจทย์ฝึกฝน และมีคนช่วยแบบส่วนตัวสามารถมาปรึกษา หรือเรียนเสริมกับติวเตอร์บน fellowie ได้ที่ 👉ติวเตอร์คณิตศาสตร์ 📌fellowie แอปเรียนออนไลน์ตัวต่อตัวกับติวเตอร์ที่เหมาะกับคุณ👨‍👨‍👧‍👦แหล่งรวมติวเตอร์มากมาย หลากหลายสไตล์❌ ไม่ผูกมัด จ่ายเงินเป็นรายครั้ง❌ ไม่ผ่านนายหน้า✅ ปลอดภัย ไม่โดนโกง 100%✅ ติวเตอร์ทุกคนผ่านการยืนยันตัวตน👩‍🏫 รู้จักโปรไฟล์ & สไตล์การสอน ของติวเตอร์ตั้งแต่ก่อนเรียน🕐 เลือกเวลาเรียนได้เอง⚖️ ราคายุติธรรม เป็นกลาง

ในบทความนี้จะพูดถึง “ระบบจำนวนจริง มีอะไรบ้าง และสัญลักษณ์ที่ใช้โดยทั่วไปคืออะไร” เป็นการเกริ่นนำเพื่อให้รู้จักความหมาย ก่อนจะเข้าสู่เนื้อหาของเรื่องจำนวนจริง โดยจะเน้นไปที่การอธิบายความหมายแต่ละชนิดของจำนวนพร้อมกับตัวอย่างของแต่ละชนิด ระบบจำนวนจริง เป็นหนึ่งในบทเรียนที่คนเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 ต้องพบเจอ โดยเป็นพื้นฐานในการแก้ไขโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ และเป็นพื้นฐานของบทอื่นๆต่อไปในระดับ ม.5, ม.6 หรือในมหาวิทยาลัยสิ่งที่ทุกคนจะได้จากการอ่านบทความนี้คือ รู้ความหมายและสัญลักษณ์โดยทั่วไปที่ใช้กัน ซึ่งพวกเรา fellowie ได้สรุปความหมายมาสั้นๆ แต่ได้ใจความครบเหมือนเดิม เพื่อให้ทุกคนเข้าใจได้อย่างง่ายดาย และยังได้ยกตัวอย่างจำนวนของแต่ละประเภท เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนมากขึ้นอีกด้วยอย่าลืม!! ฝึกทำโจทย์และทบทวนบ่อยๆ จะช่วยเพิ่มความเข้าใจ ความชำนาญและสามารถทำโจทย์หรือข้อสอบทุกรูปแบบได้ง่ายขึ้นด้วยโครงสร้างของระบบจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร? คือ จำนวนที่ประกอบด้วย จำนวนจริง และ จำนวนจินตภาพ หรืออาจจะเรียกได้ว่า ทุกจำนวนก็ว่าได้สัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อน คือ (C)จำนวนจริงคืออะไร? คือ จำนวนที่ไม่มีค่าลบ เป็นส่วนของประกอบของรากที่เป็นจำนวนคู่ตัวอย่างเช่น 9, 10, -121, 2.58647, 34, 2, -100100สัญลักษณ์ของจำนวนจริง คือ Rจำนวนจินตภาพคืออะไร? คือ จำนวนที่มีค่าลบ เป็นส่วนของประกอบของรากที่เป็นจำนวนคู่ตัวอย่างเช่น 100-8,88-89, -18, -8-169, 100+-1สัญลักษณ์ของจำนวนจินตภาพ คือ iจำนวนตรรกยะคืออะไร? คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน โดยเศษและส่วนต้องเป็นจำนวนเต็ม (ส่วนไม่เท่ากับ 0) และสามารถที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้ตัวอย่างเช่น -1.5, 227, 49, 3.696969…, 0,124สัญลักษณ์ของจำนวนตรรกยะ คือ Qจำนวนอตรรกยะคืออะไร? จะตรงข้ามกับจำนวนตรรกยะ หรือ ก็คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน โดยเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่สามารถที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้ตัวอย่างเช่น =3.141..., 3=1.732..., 32=1.259...สัญลักษณ์ของจำนวนอตรรกยะ คือ Q'จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ หรือทศนิยมรู้จบได้ (ส่วนไม่เท่ากับ 0) ตัวอย่างเช่น -8.576, 1787, 4.84, 267, 0.124124124…จำนวนเต็มคืออะไร? คือ จำนวนที่มีทศนิยมในทุกหลักคือ 0 หรือเรียกสั้นๆว่า ไม่มีทศนิยมนั่นเอง แบ่งได้เป็น 3 ประเภท คือจำนวนเต็มบวก หรือจำนวนนับคืออะไร? คือ จำนวนเต็มที่มีค่าเป็นบวกตัวอย่างเช่น 1,2,3,4,5,6,7,8,9,100,1000,11000สัญลักษณ์ของจำนวนเต็มบวก หรือจำนวนนับ คือ N หรือ I⁺จำนวนเต็มศูนย์คืออะไร? คือ มีสมาชิกตัวเดียว คือ 0สัญลักษณ์ของจำนวนเต็มศูนย์ คือ I⁰จำนวนเต็มลบคืออะไร? คือ จำนวนเต็มที่มีค่าเป็นลบตัวอย่างเช่น -99, -98, -97, -96, -95, -94, -93, -92, -8, -7สัญลักษณ์ของจำนวนเต็มลบ คือ I⁻คุณกำลังเกิดคำถามกับเรื่องนี้อยู่หรือเปล่า?❓ถ้ามีข้อสงสัยในวิชาคณิตศาสตร์❓เรียนที่โรงเรียนแล้วยังไม่เข้าใจ❓หาที่เรียนเสริมแล้วยังไม่พอใจ ไม่ถูกใจ🥇อยากได้โจทย์ฝึกฝน และมีคนช่วยแบบส่วนตัวสามารถมาปรึกษา หรือเรียนเสริมกับติวเตอร์บน fellowie ได้ที่ 👉ติวเตอร์คณิตศาสตร์ 📌fellowie แอปเรียนออนไลน์ตัวต่อตัวกับติวเตอร์ที่เหมาะกับคุณ👨‍👨‍👧‍👦แหล่งรวมติวเตอร์มากมาย หลากหลายสไตล์❌ ไม่ผูกมัด จ่ายเงินเป็นรายครั้ง❌ ไม่ผ่านนายหน้า✅ ปลอดภัย ไม่โดนโกง 100%✅ ติวเตอร์ทุกคนผ่านการยืนยันตัวตน👩‍🏫 รู้จักโปรไฟล์ & สไตล์การสอน ของติวเตอร์ตั้งแต่ก่อนเรียน🕐 เลือกเวลาเรียนได้เอง⚖️ ราคายุติธรรม เป็นกลาง

ในบทความนี้จะพูดถึง “ตัวบ่งปริมาณ” การประยุกต์แต่ละเรื่องของตรรกศาสตร์เบื้องต้นทั้งหมด โดยเรื่องนี้จะเน้นไปที่การหาค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณตัวบ่งปริมาณ เป็นหนึ่งในเรื่องที่คนเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 มักบอกว่า “ยาก งง และสับสน” ทำให้หลายคนเลือกที่จะปล่อยเรื่องนี้ และไปเก็บคะแนนในเรื่องอื่นแทน ซึ่งในความเป็นจริง ถ้าน้องๆเข้าใจหลักการคิด วิธีการ และฝึกฝนการทำโจทย์บ่อยๆ น้องๆจะเข้าใจได้เลยว่า เรื่องนี้ก็เหมือนกับการหาค่าความจริงเท่านั้นเอง แค่มีรูปแบบที่เปลี่ยนไปเท่านั้นเองสิ่งที่ทุกคนจะได้จากการอ่านบทความนี้คือ รู้วิธีการหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณทั้ง 1 และ 2 ตัวแปร โดยพวกเรา fellowie ได้สรุปมาสั้นๆ แต่เนื้อหายังครบถ้วน เพื่อให้ทุกคนเข้าใจได้ง่าย แถมเพิ่มเติม!!! ด้วยรูปแบบนิเสธของตัวบ่งปริมาณที่ต้องเจอบ่อยๆ ให้ด้วยอย่าลืม!! ฝึกทำโจทย์และทบทวนบ่อยๆ จะช่วยเพิ่มความเข้าใจ ความชำนาญ และสามารถทำโจทย์หรือข้อสอบทุกรูปแบบได้ง่ายขึ้นด้วยตัวบ่งปริมาณคืออะไร? ตัวบ่งปริมาณ คือสัญลักษณ์ที่ใช้บอกจำนวนของตัวแปรใน “ประโยคเปิด” ว่ามีจำนวนเท่าใดประโยคเปิด คืออะไร? หลายคนอ่านความหมายของตัวบ่งปริมาณ แล้วคงสงสัยว่า “ประโยคเปิด คืออะไร” ซึ่งประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร แต่ไม่เป็นประพจน์ และไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ โดยที่เมื่อแทนค่าด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วประโยคเปิดนั้นจะกลายเป็นประพจน์ประโยคเปิดใดๆ  ที่มี x เป็นตัวแปร สามารถเขียนแทนได้ด้วย P(x)เช่น x-3 < 2 ไม่เป็นประโยคเปิด เพราะไม่ทราบค่า x ทำให้ไม่สามารถบอกค่าความจริงได้แต่เมื่อแทนค่า x =2 จะทำให้ ประโยคเปิดนี้ กลายเป็นประพจน์ทันที แม้ว่า ค่าความจริงจะเป็นจริง หรือเท็จ ก็ตามตัวบ่งปริมาณมีทั้งหมดกี่ประเภท? ตัวบ่งปริมาณแบ่งได้ 2 ประเภทคือ1.∀x (for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว, สำหรับ x แต่ละตัว, สำหรับ x ใดๆ”2. ∃x (for some x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x บางตัว, สำหรับ x อย่างน้อย 1 ตัว”  การหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัวแปร เราสามารถหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัวแปรได้ดังนี้∀x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมดเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ∃x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมดการหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัวแปร เราสามารถหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัวแปรได้ดังนี้∀x∀y[P(x,y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) ทุกคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมดเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) อย่างน้อย 1คู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นเท็จ∃x∃y[P(x,y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) อย่างน้อย 1คู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) ทุกคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นเท็จ∀x∃y[P(x,y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง (x ทุกตัว สามารถจับคู่กับ y ได้)เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ (x อย่างน้อย 1 ตัว ไม่สามารถจับคู่กับ y ได้เลย)∃x∀y[P(x,y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∀y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ( x อย่างน้อย 1 ตัว สามารถจับคู่กับ y ได้ทุกตัว)เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ( ไม่มี x ที่สามารถจับคู่กับ y บางตัวได้เลย)ตัวอย่างโจทย์ การหาค่าความจริงของประโยคเปิดตัวบ่งปริมาณ 2 ตัวแปรกำหนดให้ U = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของ 1. ∃x∀y[x-y ≥ 0]วิธีทำ ให้ลองหาว่า มี x อย่างน้อย 1 ตัวไหม ที่สามารถจับคู่กับ y ได้ทุกตัว หรือ มี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ ∀y[x-y ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นจริงได้หรือไม่ แทนค่ากรณี x=1และ y=Uจะได้ว่า (x,y)=(1,-1); 1-(-1) ≥ 0             (x,y)=(1,0); 1-(0) ≥ 0             (x,y)=(1,1); 1-1 ≥ 0เห็นได้ว่า กรณี x=1และ y=U มีค่าความจริงเป็นจริงดังนั้น ∃x∀y[x-y ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นจริง2.∀x∃y[x-y ≥ 0]วิธีทำ ให้ลองหาว่า x ทุกตัวสามารถจับคู่กับ y ได้ไหม (ไม่จำเป็นต้องเป็น y เดียวกัน) หรือ x ทุกตัว สามารถทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริงได้หรือไม่แทนค่ากรณี (-1,-1), (0,0),(1,1)จะได้ว่า (x,y)=(-1,-1); 1-(-1) ≥ 0             (x,y)=(1,0); 1-0 ≥ 0             (x,y)=(1,1); 1-1 ≥ 0เห็นได้ว่า กรณี (-1,-1), (0,0),(1,1) มีค่าความจริงเป็นจริงดังนั้น ∀x∃y[x-y ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นจริงนิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ รูปแบบนิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณที่ต้องรู้!! คือ~∀x[P(x)] ≡  ∃x[~P(x)]~∃x[P(x)] ≡ ∀x[~P(x)]~∀x∀y[P(x,y)] ≡  ∃x∃y[~P(x,y)]~∃x∃y[P(x,y)] ≡ ∀x∀y[~P(x,y)]~∃x∀y[P(x,y)] ≡ ∀x∃y[~P(x,y)]~∀x∃y[P(x,y)] ≡ ∃x∀y[~P(x,y)]ถ้าน้องๆมีข้อสงสัย ต้องการโจทย์สำหรับฝึกฝน หรือตัวอย่างแนวข้อสอบ อยากได้สูตร หรือเทคนิคในการทำโจทย์ และยังมีคำถามเกี่ยวกับเรื่อง “ตัวบ่งปริมาณ”สามารถมาปรึกษา หรือแลกเปลี่ยนความรู้กับติวเตอร์บน fellowie ได้ที่ 👉ติวเตอร์คณิตศาสตร์fellowie แอปเรียนออนไลน์ตัวต่อตัวกับติวเตอร์ที่เหมาะกับคุณ📌 แหล่งรวมติวเตอร์มากมาย หลากหลายสไตล์❌ ไม่ผูกมัด จ่ายเงินเป็นรายครั้ง ❌ ไม่ผ่านนายหน้า✅ ปลอดภัย ไม่โดนโกง 100%✅ ติวเตอร์ทุกคนผ่านการยืนยันตัวตน👩‍🏫 รู้จักโปรไฟล์ & สไตล์การสอน ของติวเตอร์ตั้งแต่ก่อนเรียน🕐 เลือกเวลาเรียนได้เอง⚖️ ราคายุติธรรม เป็นกลาง

ในบทความนี้จะพูดถึง “การอ้างเหตุผล” เป็นการต่อยอดและประยุกต์เรื่อง สัจนิรันดร์ โดยเน้นไปที่การหาข้อสรุปของการอ้างเหตุผบด้วยวิธีการต่างๆ การอ้างเหตุผล เป็นหนึ่งในเรื่องที่คนเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 หลายๆคน มักจะบอกว่ายาก แต่ความจริงแล้ว เป็นเรื่องที่ง่ายมาก หากน้องๆเข้าใจเรื่อง สัจนิรันดร์ เป็นอย่างดี และจะช่วยทำให้น้องๆเข้าใจได้ว่า การเรียนตรรกศาสตร์เบื้องต้นทั้งหมด สามารถประยุกต์ใช้ได้อย่างไรบ้างสิ่งที่ทุกคนจะได้จากการอ่านบทความนี้คือ รู้ว่าวิธีการอ้างเหตุผลสามารถทำอย่างไรได้บ้าง มีกี่วิธี และสิ่งที่ควรรู้ รับรองได้เลย อ่านจบแล้ว สามารถฝึกทำโจทย์ได้ทันทีอย่าลืม!!! ฝึกทำโจทย์และทบทวนบ่อยๆ ก็จะยิ่งเพิ่ม ความเข้า่ใจและชำนาญมากขึ้นรวมถึงสามารถทำโจทย์หรือข้อสอบทุกรูปแบบได้อย่างง่ายการอ้างเหตุผล คือการหาผลสรุป จากข้อความ (เหตุ) ที่กำหนดการอ้างเหตุผลจะมี 2 ส่วนสำคัญคือ 1. เหตุ คือสิ่งที่กำหนดให้ หรือประพจน์ย่อยๆ (P₁, P₂, P₃, …, Pₙ) 2. ผล คือ ข้อสรุปจากเหตุ (Q)วิธีการตรวจสอบการอ้างเหตุผลวิธีที่ 1 การใช้รูปแบบการให้เหตุผล โดยเป็นรูปแบบการให้เหตุผลที่ “สมเหตุสมผล” ตรวจสอบได้ด้วย ตารางค่าความจริง1. กฎการแจงผลตามเหตุ (Modus ponens) เหตุ : 1) p → q         2) p ผลสรุป : q 2. กฎการแจงผลค้านเหตุ (Modus tollens) เหตุ : 1) p → q          2) ~q ผลสรุป : ~p 3. กฎตรรกบทแบบสมมุติฐาน (Hypothetical syllogism) เหตุ : 1) p → q          2) q → rผลสรุป : p → r4. กฎตรรกบทแบบการเลือก (Disjunctive syllogism) 4.1 เหตุ : 1) p V q                                      4.2 เหตุ : 1) p V q                2) ~p                                                         2) ~q       ผลสรุป : q                                                  ผลสรุป : p 5. กฎการตัด (Symplification) เหตุ : p ^ q                        ผลสรุป : p หรือ q                              6. กฎการรวม (Conjunction) เหตุ : 1) p          2) q ผลสรุป : p ^ q 7. กฎเดอมอร์แกน (De Morgan’s law) 7.1 เหตุ : ~(p ^ q)                                     7.2 เหตุ : ~(p V q)       ผลสรุป : ~p V ~q                                      ผลสรุป : ~p ^ ~q 8. กฎการแจกแจงสมมูล (Material equivalence)8.1 เหตุ : p ↔ q                                       8.2 เหตุ : p ↔ q        ผลสรุป : (p → q)  (q → p)                              ผลสรุป : (p → q)  (p → q) 9. กฎทวิบทสร้างเสริม (Constructive dilemma) เหตุ : 1) p → q         2) r → s         3) p V r ผลสรุป : q V s 10. กฎทวิบทหักล้าง (Constructive dilemma) เหตุ : 1) p → q         2) r → s         3) ~q V ~s ผลสรุป : ~p V ~r 16. กฎการแทนค่าสมมูล (Substitution of equivalent) เหตุ : 1) p ↔ q         2) p ผลสรุป : qวิธีที่ 2 การใช้สัจนิรันดร์ โดยเชื่อมเหตุทุกเหตุด้วยตัวเชื่อม ∧ และเชื่อมเหตุทั้งหมดกับผลด้วยตัวเชื่อม → ถ้า  (P₁^P₂^P₃^…^Pₙ) → Q เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล  ถ้า (P₁^P₂^P₃^…^Pₙ) → Q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล การตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่??1. การอ้างเหตุผลนี้จะเป็นสัจนิรันดร์ ก็ต่อเมื่อ เหตุ → ผล เป็นจริงทุกประการ2. ทำการตรวจสอบ กรณีที่ เหตุ → ผล เป็นเท็จ ซึ่งมีกรณีเดียวคือเหตุเป็นจริง และผลเป็นเท็จ3. หากตรวจสอบค่าความจริงของทุกประพจน์แล้วพบว่า “ค่าความจริงของ 1 ประพจน์ มีความขัดแย้งกัน”4. แสดงว่า เหตุ → ผล ไม่เป็นเท็จ หรือสรุปได้ว่า มีค่าความจริงเป็นจริง นั่นเอง5. แสดงว่า เหตุ → ผล เป็นสัจนิรันดร์6. แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล ตัวอย่าง โจทย์การอ้างเหตุผลเหตุ 1. ~p V (q V s)  2. ~q ^ ~s ผล p → s การอ้างเหตุผลนี้คือ {[~p V (q V s)] ^ (~q ^ ~s)} → (p → s)ตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของ {[~p V (q V s)] ^ (~q ^ ~s)} → (p → s) โดยให้ {[~p V (q V s)] ^ (~q ^ ~s)} → (p → s) มีค่าความจริงเป็นเท็จแสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลน้องๆคนไหนยังงงอยู อยากได้โจทย์สำหรับการฝึกฝน หรือเป็นแนวข้อสอบ อยากได้สูตร หรือเทคนิคในการทำโจทย์ และยังมีคำถามเกี่ยวกับเรื่อง การอ้างเหตุผลที่ไม่เข้าใจอยู่สามารถมาปรึกษา หรือแลกเปลี่ยนความรู้กับติวเตอร์บน fellowie ได้ที่ 👉ติวเตอร์คณิตศาสตร์fellowie แอปเรียนออนไลน์ตัวต่อตัวกับติวเตอร์ที่เหมาะกับคุณ❌ไม่ผูกมัด❌ไม่ผ่านนายหน้า❌รู้จักติวเตอร์ตั้งแต่ก่อนเรียน❌ปลอดภัย ไม่โดนโกง 100%✅ จ่ายเงินเป็นรายครั้ง✅ เลือกเวลาเรียนได้เอง