สรุปเนื้อหา ตัวบ่งปริมาณ - ตรรกศาสตร์ ม.4 เทอม 1

ในบทความนี้จะพูดถึง “ตัวบ่งปริมาณ” การประยุกต์แต่ละเรื่องของตรรกศาสตร์เบื้องต้นทั้งหมด โดยเรื่องนี้จะเน้นไปที่การหาค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ เป็นหนึ่งในเรื่องที่คนเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 มักบอกว่า “ยาก งง และสับสน” ทำให้หลายคนเลือกที่จะปล่อยเรื่องนี้ และไปเก็บคะแนนในเรื่องอื่นแทน ซึ่งในความเป็นจริง ถ้าน้องๆเข้าใจหลักการคิด วิธีการ และฝึกฝนการทำโจทย์บ่อยๆ น้องๆจะเข้าใจได้เลยว่า เรื่องนี้ก็เหมือนกับการหาค่าความจริงเท่านั้นเอง แค่มีรูปแบบที่เปลี่ยนไปเท่านั้นเอง

สิ่งที่ทุกคนจะได้จากการอ่านบทความนี้คือ รู้วิธีการหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณทั้ง 1 และ 2 ตัวแปร โดยพวกเรา fellowie ได้สรุปมาสั้นๆ แต่เนื้อหายังครบถ้วน เพื่อให้ทุกคนเข้าใจได้ง่าย แถมเพิ่มเติม!!! ด้วยรูปแบบนิเสธของตัวบ่งปริมาณที่ต้องเจอบ่อยๆ ให้ด้วย

อย่าลืม!! ฝึกทำโจทย์และทบทวนบ่อยๆ จะช่วยเพิ่มความเข้าใจ ความชำนาญ และสามารถทำโจทย์หรือข้อสอบทุกรูปแบบได้ง่ายขึ้นด้วย

ตัวบ่งปริมาณคืออะไร?

ตัวบ่งปริมาณ คือสัญลักษณ์ที่ใช้บอกจำนวนของตัวแปรใน “ประโยคเปิด” ว่ามีจำนวนเท่าใด

ประโยคเปิด คืออะไร?

หลายคนอ่านความหมายของตัวบ่งปริมาณ แล้วคงสงสัยว่า “ประโยคเปิด คืออะไร” ซึ่งประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร แต่ไม่เป็นประพจน์ และไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ โดยที่เมื่อแทนค่าด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วประโยคเปิดนั้นจะกลายเป็นประพจน์

ประโยคเปิดใดๆ  ที่มี x เป็นตัวแปร สามารถเขียนแทนได้ด้วย P(x)

เช่น x-3 < 2 
ไม่เป็นประโยคเปิด เพราะไม่ทราบค่า x ทำให้ไม่สามารถบอกค่าความจริงได้
แต่เมื่อแทนค่า x =2 จะทำให้ ประโยคเปิดนี้ กลายเป็นประพจน์ทันที แม้ว่า ค่าความจริงจะเป็นจริง หรือเท็จ ก็ตาม

ตัวบ่งปริมาณมีทั้งหมดกี่ประเภท?

ตัวบ่งปริมาณแบ่งได้ 2 ประเภทคือ

1.∀x (for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว, สำหรับ x แต่ละตัว, สำหรับ x ใดๆ”

2. ∃x (for some x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x บางตัว, สำหรับ x อย่างน้อย 1 ตัว”  

การหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัวแปร

เราสามารถหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัวแปรได้ดังนี้

∀x[P(x)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

∃x[P(x)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด

การหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัวแปร

เราสามารถหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัวแปรได้ดังนี้

∀x∀y[P(x,y)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) ทุกคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) อย่างน้อย 1คู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

∃x∃y[P(x,y)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) อย่างน้อย 1คู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) ทุกคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

∀x∃y[P(x,y)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง (x ทุกตัว สามารถจับคู่กับ y ได้)

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ (x อย่างน้อย 1 ตัว ไม่สามารถจับคู่กับ y ได้เลย)

∃x∀y[P(x,y)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∀y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ( x อย่างน้อย 1 ตัว สามารถจับคู่กับ y ได้ทุกตัว)

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ( ไม่มี x ที่สามารถจับคู่กับ y บางตัวได้เลย)

ตัวอย่างโจทย์ การหาค่าความจริงของประโยคเปิดตัวบ่งปริมาณ 2 ตัวแปร

กำหนดให้ U = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของ 

1. ∃x∀y[x-y ≥ 0]

วิธีทำ ให้ลองหาว่า มี x อย่างน้อย 1 ตัวไหม ที่สามารถจับคู่กับ y ได้ทุกตัว หรือ มี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ ∀y[x-y ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นจริงได้หรือไม่ 

แทนค่ากรณี x=1และ y=U

จะได้ว่า (x,y)=(1,-1); 1-(-1) ≥ 0

             (x,y)=(1,0); 1-(0) ≥ 0

             (x,y)=(1,1); 1-1 ≥ 0

เห็นได้ว่า กรณี x=1และ y=U มีค่าความจริงเป็นจริง

ดังนั้น ∃x∀y[x-y ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นจริง

2.∀x∃y[x-y ≥ 0]

วิธีทำ ให้ลองหาว่า x ทุกตัวสามารถจับคู่กับ y ได้ไหม (ไม่จำเป็นต้องเป็น y เดียวกัน) หรือ x ทุกตัว สามารถทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริงได้หรือไม่

แทนค่ากรณี (-1,-1), (0,0),(1,1)

จะได้ว่า (x,y)=(-1,-1); 1-(-1) ≥ 0

             (x,y)=(1,0); 1-0 ≥ 0

             (x,y)=(1,1); 1-1 ≥ 0

เห็นได้ว่า กรณี (-1,-1), (0,0),(1,1) มีค่าความจริงเป็นจริง

ดังนั้น ∀x∃y[x-y ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

รูปแบบนิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณที่ต้องรู้!! คือ

~∀x[P(x)] ≡  ∃x[~P(x)]

~∃x[P(x)] ≡ ∀x[~P(x)]

~∀x∀y[P(x,y)] ≡  ∃x∃y[~P(x,y)]

~∃x∃y[P(x,y)] ≡ ∀x∀y[~P(x,y)]

~∃x∀y[P(x,y)] ≡ ∀x∃y[~P(x,y)]

~∀x∃y[P(x,y)] ≡ ∃x∀y[~P(x,y)]

ถ้าน้องๆมีข้อสงสัย ต้องการโจทย์สำหรับฝึกฝน หรือตัวอย่างแนวข้อสอบ อยากได้สูตร หรือเทคนิคในการทำโจทย์ และยังมีคำถามเกี่ยวกับเรื่อง “ตัวบ่งปริมาณ”

สามารถมาปรึกษา หรือแลกเปลี่ยนความรู้กับติวเตอร์บน fellowie ได้ที่ 👉ติวเตอร์คณิตศาสตร์

fellowie แอปเรียนออนไลน์ตัวต่อตัวกับติวเตอร์ที่เหมาะกับคุณ

📌 แหล่งรวมติวเตอร์มากมาย หลากหลายสไตล์

❌ ไม่ผูกมัด จ่ายเงินเป็นรายครั้ง

❌ ไม่ผ่านนายหน้า

✅ ปลอดภัย ไม่โดนโกง 100%

✅ ติวเตอร์ทุกคนผ่านการยืนยันตัวตน

👩‍🏫 รู้จักโปรไฟล์ & สไตล์การสอน ของติวเตอร์ตั้งแต่ก่อนเรียน

🕐 เลือกเวลาเรียนได้เอง

⚖️ ราคายุติธรรม เป็นกลาง